確率の問題

ちょっと気になったので言及してみる。

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、３枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

という問題が某所で話題になっている。
これは 1/4派と 10/49派に分かれていて、いまだに議論紛糾しているみたいだ。

1/4派の意見は、「最初にカードを引いた時点での確率は 1/4 で、あとから事実を見せられても変わらない」というものだろうし、10/49派の意見は、「ダイヤが３枚見えているんだから、残りのダイヤは10枚、残りのカードは49枚なんだから、10/49」というものだろうと思う。

どちらの意見も正しいように思えるが、この場合は 10/49 が正解だと考えられる。

最初にカードを引いたとき、そのカードがダイヤである確率が 1/4 であることには誰も異論はないだろう。ここで問題となっているのは、「3枚のダイヤを見たあとで確率が変わるかどうか」ということだ。これは、「新しい情報が得られたかどうか」ということに拠る。この問題の場合、残りのカードから１枚引いて見るたびに、「最初に引いたカードはこのカードではない」という情報が得られるため、確率は変化していくと考えられるのである。

ちなみに、問題が

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。そして、残りのカードをよく切ってから、友人のＫ君が表を見ながら３枚のダイヤを抜き出して見せた。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

であった場合、答えは 1/4 になる。

なぜかというと、Ｋ君は作為的にダイヤを選び出したのだから、「残りの51枚の中にダイヤが3枚ある」という情報が得られただけであり、「残りの51枚の中には少なくともダイヤは12枚ある」という情報は既知であるために、新しい情報が得られてないことになるからだ。

うーん、やっぱり確率って難しいなぁ。